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澳洲幸运5官网(www.a55555.net):双向复利

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本文来自微信公众号:孤独大脑(ID:lonelybrain),作者:老喻,头图来自:《天使爱美丽》剧照


本文将围绕指数和对数的“可逆”展开。


我的目的不是为了帮大家温习数学,而是探索以下重要且有趣的话题:


  • 聪明的试错,是一个逆向复利的过程,它可以帮助我们以指数增长的速度,逆向逼近正确答案;


  • 绝大多数成就的取得,都是通过复利效应实现的。但是,复利很难。本文我将讲述复利的双向测试,为靠谱的复利搭建一个可计算的脚手架;


  • 两头求极限,才是马斯克的“第一性原理”中最重要但却被或略的部分。


  • 凯利公式给出了一个最大收益与下注比例之间的数学关系。该公式是在基于概率的复利公式的基础上,通过取对数然后求导得出的。


  • 既然说到了对数,自然要说一下神奇的自然对数e,以及自然增长的极限。


以可感知的方式来重温对数,能帮助我们从底层理解这个世界的算法。


一、log10(10)


《鱿鱼游戏》中的第五关,是“跳玻璃桥”。有16位选手按照顺序过一条玻璃桥。玻璃桥由18节构成,每节有左右两块玻璃,一边是普通玻璃,一边是强化玻璃。


游戏规则是:参赛者必须正确分辨出普通玻璃和强化玻璃,若踩到普通玻璃就会当场摔死,一路踩到强化玻璃才能过关。


二选一,即使靠蒙,胜率也高达50%。


然而,虽然每一节的变化只有2,两节的变化也就是2️2,连续18节的变化是2的18次方,却高达262144种。


这是一个指数级的增长。


要想连续18次都蒙对,成功的概率是(2的18次方)分之一,也就是约为30万分之一,约为死于从楼梯上摔下来概率的二分之一。


然而,在《鱿鱼游戏》里,最终有三个人过关,除了靠玻璃厂师傅肉眼辨别出来的较少环节,主要都是以人命为代价蒙出来的。


理论上,如果人们不自相残杀,即使是靠蒙,活下来的人也应该多于三人。


为什么一个成功率只有近三十万分之一的游戏,仅仅靠十几个人就能打通关呢?


因为这是18个串联在一起的二选一,18个人用命去蒙,相当于一个逆向的指数效应,可以用非常有限的测试,来找到262144种可能性中唯一正确的可能性。


我称之为:逆向复利。


如各位聪明读者都知道但可能早已忘记的数学,玻璃桥游戏的巨大不确定性(262144种)是来自指数增长,而消除不确定性则是靠指数函数的反函数:对数函数。


二、log10(100)


先来玩儿一个简单游戏:


已知有两个抽屉,各有一黑一白两个盒子,一共四个。其中一个盒子里有颗大钻石,猜中了就归你。


你可以问任意问题,主持人必须回答,但只能说“是”或者“不是”。


请问你最少要问几次?


也许你在宿舍生活时,玩儿过类似的游戏:通过不断问问题,获得“是或不是”的反馈,然后一步步解出谜题。


答案是你需要问两次:


第一次:是在左边的抽屉里吗?(是,则左;不是,则右。)


第二次:是在黑色的盒子里吗?(是,则黑;不是,则白。)


这是一个简化版的“过玻璃桥”游戏。有算法的瞎蒙,有时候并不蒙瞎。


近300年前,牧师贝叶斯设计了一个思想实验:


他背对一张桌子坐着,桌子上有个白球,他并不知道白球的位置。然后,他让助手随机往桌面上扔黑球,黑球落在桌子上的位置完全是不确定的;


接下来,每放完一个,他就问助手白球相对于黑球的方位。比如,助手说白球在黑球的右边,他就猜也许白球在靠右一点儿的位置;


然后,助手又随手扔了一个黑球,并且告诉他这个白球是在黑球的左边。于是他更新了猜想,可能白球并没有那么靠右;


就这样,扔的黑球越多,他就越能逼近白球真正的位置。


这个“无聊”的游戏靠谱吗?


该实验中,仅用模糊的相对关系,就能逐步推断出结果。关于这一点,后续我会在其它文章中再谈及。


事实上,贝叶斯的这个思想实验,是对休谟的因果怀疑论的反击。结果,产生了一种“由果推因”的逆概率计算,迄今仍在深刻改变这个世界。


也许你会觉得,这种瞎猜,要猜到什么时候?和过玻璃桥一样,贝叶斯的计算,也有一种逆向的指数效应,能够快速逼近白球的真正位置。


三、log10(1000)


在过玻璃桥游戏里,每一节的变化是2,连续18节的变化,就是2的18次方,这是一个指数运算。计算结果,是262144种变化。


那么,如果我们只知道一共有262144种变化,但不知道玻璃桥有多少节,该如何计算呢?


这就是指数运算的逆运算:对数运算。


    如果a的x次方等于N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=loga N。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。


    对数的意思是: 用几个数与自己乘在一起会得到另一个数?例如2的三次方是8。那么反过来,多少个2相乘可以得到8?



    通过对数运算可知,log2(8)=3。


    在过玻璃桥的游戏里,2的18次方等于262144,那么:log2 (262144)=18。


    指数运算,能够迅速将一个数字变得非常大;对数运算,能够迅速将一个数字变得非常小。二者放在一起,是一种双向的“复利效应”。


    四、log10(10000)


    关于不怕失败,主动试错,已经是老生常谈。


    《霍乱时期的爱情》里写道:“趁年轻,好好利用这个机会,尽力去尝遍所有痛苦,这种事可不是一辈子什么时候都会遇到的。”


    为什么要趁年轻犯错呢?什么是聪明的犯错呢?


    记得有位科学家说过:所谓专家,就是在一个极小的范围内犯过了所有的错误。


    以下图为例:



    你要找寻图形中藏宝的小方块,即使你只能像过玻璃桥那样去试,一次猜一半,你也会以非常快的速度逼近宝藏。


    但是,要有以下前提:


    • 有边界。即使逆向的指数效应很强大,但也很难解决没有边界的问题;


    • 有算法。例如过玻璃桥看似残酷,但其实是由一连串二选一的问题组成,数学上可以计算,能够不断逼近答案;


    • 有反馈。猜对玻璃,活命;猜错玻璃,死掉。但是对于整个系统而言,假如只是一个游戏(并不是真的死掉),其实猜对或者猜错,就信息的传递而言,是等价的;


    • 能遍历。参与游戏的人不仅要犯掉所有的错误,还要能够在犯错之后活下来。对创业者而言就是在钱花光之前快速犯错然后找到活路。


    可口可乐公司的CEO詹姆斯.昆西说:“如果我们不犯错,那就表明我们工作上都不够努力。”


    奈飞的哈斯廷斯认为:“我们必须要冒更多的风险……去尝试更疯狂的事情……”(2022年1月22日,奈飞一夜之间市值蒸发3100亿。)


    贝佐斯将极可能是错误的“大胆押注”视为实验品:


    “既然它们是一次实验,那么你肯定就不能提前知道它们会产生怎样的作用。毕竟实验究其本身来讲就是一件容易失败的事儿。但只要有几个巨大的成功就能弥补你所经历的无数次的失败。”


    然而,所谓“失败是成功之母”,在我们这个演化的世界里,对绝大多数人而言并不成立。即使你勇于失败,不断探索,假如你的犯错不够聪明,不够随机,运气不够好,成功照样不会来临。


    聪明而主动的犯错,需要有边界、有算法、有反馈、能遍历,也需要一些疯狂、随机和冗余。


    哈耶克说:


    虽然进化经常被总结成“适者生存”,但推动进化进程的却往往是不适者。尽管我们总是本能地以为复杂问题需要精心设计的解决方法,但进化却毫无规划可言。


    复杂得惊人的事物是在简单的过程中涌现出来的:尝试已有事物的不同版本,剔除失败,复制成功经验。


    所以,成功学最大的问题是,忽略了那些事后不再发声的失败要素,简化了因果,甚至颠倒了因果,并且认为成功可以被设计,被复制。


    五、log10(100000)


    对于人们热衷于探寻模式和设计因果,哈耶克批评道:


    人们总以为自己能设计出这样或那样的东西,但实际上,他们对要设计的东西几乎一无所知,经济学的独特职责就是展示人们的这种无知。


    哈耶克的这句话,尤其适合应用于教育领域。教育的目的和意义到底是什么?


    以前是为了培养技能,可以上生产线纺纱造车。现在早变了,漫长的求学生涯,是人类社会的一种冗余机制。


    对一个孩子而言,在被保护的童年与青少年期间,低成本地去犯人生当中所有可能的错误,也许是最有价值的。


    所以,如哈耶克所言,教育应该允许孩子通过犯错,暴露出自己的无知,自己的愚蠢。


    可事实呢?犯错、无知,是学校里最无法容忍的。


    于是,可笑的事情出现了:一个人经历了十几年的教育,不断追求如何将这辈子几乎都不会再用上的知识做到“不出错”,不断地将那些严丝合缝的因果关系背得烂熟,最宝贵的个性因为无法显现而被磨灭,无价的多样性被统一的生产线加工成一个模子。


    可是,我们眼前复杂的现实世界,越来越像休谟在几百年前所说的:


    “我们无从得知因果之间的关系,只能得知某些事物总是会关联在一起。”


    产生于工业革命年代的传统教育,早已无法应对非线性的、不确定的当下。


    如果传授确定性知识的教育只是成为一个智力测试系统,以摧毁人才的方式来选拔人才,那么这一代价对社会、对个体而言都太昂贵了。


    某女子学校创建了一个名为“失败”的项目。负责人雷切尔·西蒙斯说了一句非常贝叶斯主义的话:


    “我们想要告诉大家的是,失败并不是学习过程中犯的错误,而是学习过程中的特征。”


    教育教会我们学习和思考(指数式增长),更是教会我们如何挖掘自己独一无二的宝藏(对数式逼近)


    大自然实现了某种有算法的随机性,学校也应该如此。


    所谓因材施教,不是定制名表,定制名包,而是提供一个有算法的系统,并且通过模拟真实的现实世界,让孩子自由探索,大胆犯错,无所顾忌地暴露自己的无知,呈现自己的天性,从而发现自己的禀赋,点燃愿意终其一生去努力的理想。


    接下来,我要通过可逆的指数和对数运算,讲到复利的双向测试。


    六、log10(1000000)


    “奇怪”的是,对数的发明先于现代指数。原因是对数当时在航海与天文学领域太实用了。


    对数可以将高级运算降为次级运算,例如化乘方开方为乘除,化乘除为加减,从而极大降低了运算量。


    指数和对数互为“反函数”,二者之间是可逆的关系。


    先看从指数到对数:



    我们把k输入到上面的运算器,经过指数运算,得到a的k次方,再代入对数运算,又输出了k。


    再倒过来,看从对数到指数,一样是输入k,输出k。



    如上运算器,我们可以从左边输入,右边输出;也可以从右边输入,左边输出。


    就像贝叶斯提出的逆概率,从而实现了可以“由果推因”,如上的双向运算,既是由因推果,又是由果推因。


    这种方法,可以帮助我们检验自己的信念。


    例如,假如你看到:某人非常聪明并且努力,所以在房地产行业赚到了很多钱。


    你就可以做一个双向测试:


    • 从“非常聪明并且努力”,可以推出“在房地产行业赚到很多钱”吗?

    • 从“在房地产行业赚到很多钱”,可以推出“非常聪明并且努力”吗?


    如果不能,我们可能需要重新定义自己的那个信念。(这仅仅是个未必完备的思考实验。)


    以下我要讲的,绝非用公式包装成功学,而是分享一个有趣的“感知”。我相信,如果你懂得创业,又懂指数和对数,一定能对如下内容会心一笑。


    先定义一下,世俗意义上的成功,大多是通过大规模复制实现的。企业复制产品,个人复制IP,基因复制生命。


    成功的复制,就是将某样有价值的事物重复足够多次,从而实现复利。越厉害的复制,越是有指数效应,并且边际成本递减,还能形成网络效应。


    那么,复制什么呢?在指数运算里,复制的是底数。例如,2的18次方是262144,其中底数是2,指数是18。


    回到创业。


    众所周知的精益创业,其核心思想是,先在市场中投入一个极简的原型产品,然后通过不断的学习和有价值的用户反馈,对产品进行快速迭代优化,以期适应市场。


    精益创业的三个主要工具是:“最小可用品”、“客户反馈”、“快速迭代”。 


    在大规模复制之前,创业者必须以最小的成本和有效的方式验证产品是否符合用户需求,在最短时间里找到有价值的认知。


    快速地去蒙,聪明地去试错,就像贝叶斯身后乱扔的球,以及过玻璃桥的大胆一跃。


    这个有价值的认知,就是指数运算和对数运算中的底数。


    创业的第一阶段,从0到0.1或者从0到1,像是一个对数运算;在经过验证和迭代后,再实现爆发式增长。像是一个指数运算。


    阿里云总裁认为技术只有两个核心价值:


    • 第一、对于验证成功或接近成熟的业务,快速规模化,实现指数增长。比如从 1-10 用了 10 天,那你从 10-100 应该只用两天或一天。


    • 第二、要帮业务团队快速试错。让产品快速上线,别在乎什么架构,有反馈才知道这个业务行不行,能不能活下来。


    所以,创业的过程,交织着对数运算和指数运算。我们需要从两头分别输入数字,往返测试,以求发现内核,然后进行大规模复制。


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    一头计算作为复制内核的底数,一头计算指数增长的规模。


    我在《人生算法》这本书里,将此拓展到个人的演化:


    • 上半场,是一个切割钻石的过程,目的就是为了不断找到真正属于你自己的最小的那个内核。


    • 下半场,就是如何通过复制,令最小的内核最大化。


    为什么要用“最小内核”来做指数运算的底数?


    复利增长的关键是复制的连续性和稳定性,物理意义上去掉多余的部位,信息意义上去除噪音,能够令最小内核的复制更可持续。


    这个过程,总是伴随着打破和重建。新晋导演章子怡认为,导演就是一个“打破瓶子”的过程:“你得把瓶子打碎了,钻出来透口气,再钻进另一个瓶子里。”


    尼采错了,并非“那些杀不死你的,终将使你变得更强大”,而是你的强大需要通过杀死“不够强大”而呈现出来。


    正如演化算法的三部曲:变异,选择,复制。


    变异是某个认知,这个认知以某个最小化产品的形式被放在具体环境里,通过与环境的双向选择而不断迭代,一旦其生存模式被验证,就大规模复制。


    一个人,或者一个机构,其成功的最大秘密是:找到可大规模复制(具有连续性)的“大概率事件“。


    七、log10(10000000)


    事实上,马斯克总是提及的第一性原理,也包含了类似的双向推导。


    先前,人们对“第一性原理”的理解主要是:把一些事情归结为最基本的原则,尤其是物理定律,少一点儿类比,少一点儿夹层解释。


    但其实不止于此。


    马斯克说,另一个方法是:在极限中思考问题。


    如果你在思考一件事情的同时,把它扩展到一个非常大的范畴或一个非常小的范畴,事情会发生什么变化?


    举个例子,不管是造电动车还是火箭,假如零件太贵,成本太高,你就可以想:


    • 如果每年的产量是一百万台呢?那还贵吗?


    • 如果一年一百万台还是很贵,那么数量就不是你的东西贵的原因,根本问题出在设计上。


    • 这样一来必须改变设计,改变零部件,从根本解决价格问题。


    这个,是从规模极限去推导。


    然后,倒过来,从基本单元的极限去推导,一直到原子层面。例如生产火箭,一直拆解到初始的资源和原料:


    • 如果你看一下火箭的原材料,你会发现原料有铝、钢、钛合金、特种合金、铜等;


    • 每个部件的组成元素的重量是多少,原材料价值是多少?


    • 在不改变原材料的情况下,以上几个问题为火箭的成本设定了渐近极限。


    • 更进一步,把原子排列成最终的形状,这将是你产品的最低成本。


    在马斯克看来,产品的制造成本渐进式地接近其原材料价值。


    所以,关于产品的第一性原理是:尝试想象完美产品或技术,不管它是什么。然后思考:原子怎样才能完美地排列?进而找出如何获得这种形状的物品。


    但是,大多数时候,人们停留在“夹层”。从观念上固守已有的东西,倾向于使用他们熟悉的工具和方法。


    马斯克的思考方式是,通过双向推导:


    • 我们一方面可以去发现规模效应下的完美产品(指数运算)


    • 一方面去创造工具、方法,找寻材料,从原子层面构建基本单元(对数运算)


    从因到果,再从果到因,双向推导至极限,会创造出惊人的奇迹。


    八、log10(100000000)


    在《鱿鱼游戏》中的第五关“跳玻璃桥”,一个人向前跳,不管他踩中了钢化玻璃,还是不幸踩碎普通玻璃,都为团队提供了信息。


    这种信息,是通过消除不确定性来实现的。


    就信息本身而言,“正确”或者“错误”,是等价的。不同的是,“正确”的人有机会再去踩下一关的玻璃。


    那么,该如何度量信息呢?香农引入了“比特”的概念。


    比特来自二进制,香农认为可能拥有的最简单的信源,就是抛硬币,正或反,是或否,1或0,这是可能存在的最基本的信息。


    就像信息的原子。


    比特是在两个等概率的可能性之中进行选择后所产生的信息量。


    所以“一台拥有两种稳定状态的设备……能够存储1比特信息”。


    回到开始的猜钻石游戏,你需要多少信息?


    • 在左右抽屉里二选一,对应1比特;

    • 再在黑白盒子里二选一,对应1比特;


    所以你总共需要2比特,以实现在四个盒子里选出一个。


    玻璃桥游戏里,总变化高达262144种可能性,但因为这是18个串联在一起的二选一,我们算一下需要多少信息:


    也就是计算262144以2为底的对数:log2262144=18,相当于2的18次方的逆运算。


    为什么计算对数?因为:采用概率分布的对数作为信息的量度具有可加性。


    由于求对数,所以有一种逆向的指数效应。其所产生的加速效应,我称之为逆向复利。


    过玻璃桥的变化虽然很多,但信息只有18比特。那么,每跳一个人,不管是否掉下去(就像抛硬币无论正反面,获取的信息是一样的),就获得了1比特。


    当然,如果没掉下去,就又多了一次下一轮的测试机会。


    由此,每跳一次,就获得了一个信息,也就消除了一部分不确定性。教科书对此的描述是:



    香农将热力学的熵,引入到信息论,因此它又被称为香农熵,或信息熵。在信息论里面,熵是对不确定性的测量。


    在信息世界,熵越高,则能传输越多的信息,熵越低,则意味着传输的信息越少。其公式如下:



    其中p(xi)代表随机事件X为xi的概率。


    还是以扔硬币为例。扔一次硬币,出现正面的概率是 p1=0.5, 出现反面的概率也是p2=0.5。所以,根据公式计算:H = -(0.5️log2(0.5) + 0.5 ️log2(0.5)) = 1比特。


    但是,如果这枚硬币被做了手脚,出现正面的概率是0.7, 反面是0.3。那么“扔一次这个硬币”这个事件的信息熵是多少呢?计算如下:H= -(0.7️log2(0.7) + 0.3️log2(0.3)) = 0.88比特。


    假如你去玩抛硬币的游戏,而且你知道有一桌的硬币做了手脚,正面概率是70%,那么你一定会选这一桌,并且每次都押正面,因为其信息熵更低,这意味着该“不确定性”比公平的硬币降低了。


    在《鱿鱼游戏》里,那位玻璃厂的老师傅,就是靠自己的专业,降低了自己每一次蒙的行为的信息熵,就像上面那个做了手脚的硬币。


    因此,他消除不确定性的“能力”更强。


    九、log10(1000000000)


    再说回复利的主题。复利的基本公式,是一个指数运算。



    复利算起来很简单,实现很难,原因见《复利的谎言》:


    • 真相1、世界被随机性主宰;

    • 真相2、连续性很难实现;

    • 真相3、现实是不均匀的;

    • 真相4、回报是不对称的;

    • 真相5、筹码是有限的。


    用复利公式来描述以上几点就是:


    • 利率r(回报)与期数n都是说不准的;


    • 比较好的回报r,期数n总是不长久;


    • 利率r(回报)总是起起伏伏,时好时坏;


    • 现值PV(投入本金)大,终值FV(最终收益)未必大;


    • 以总值论,本金太小。以比例论,本金撑不到赚钱的时刻。


    那么,复利公式还有用吗?在充满不确定性的现实世界,用概率来描述一个事件,是理性且智慧的。


    复利公式也不例外。确定性下的复利公式是:


    但是,现实世界的回报r并不确定,那么我们用概率来描述。


    举例:若一投资有60%的获胜率(p = 0.6,q = 0.4),而投资者在赢得赌局时,可获得一赔一的赔率(b = 1)。为了避免爆掉,所以下注者每次会控制下注比例,假设是x,那么连续下注n次,期望值计算是:f(x)=(1+x)^(n️0.6)️(1-x)^(n️0.4)。


    如上,这其实是一个概率世界的复利公式。


    首先,这里仍然有一个重要前提:期望值为正。否则就是赌博。


    这时,我们会发现,下注比例x太小,赚不到钱;x太大,可能会爆掉,以致无法实现遍历性而“享用”正期望值。


    有没有一个方法,可以控制x的数值,就像用开关控制水量一下,调节每次下注的比例,在确保不会爆仓的前提下实现收益最大化?


    转化为数学问题,就是求上面f(x)的极大值。


    当年索普向香农请教期望值优势下的下注比例问题,索普向他推荐了自己同事凯利的一个公式。与索普自己的信息熵公式有点儿像,凯利公式是对概率世界的复利公式取对数,然后求极值。


    凯利公式的目标是:最大化资产的增长率,也即最大化对数资产的期望值。


    设开始时的资产是1,每次下注的比例为f,有p的概率会b的赔率赢钱,资产的对数期望值计算如下(就是对概率下的复利公式两边取对数的结果)



    要找到最大化这个期望值f,只需E对f的导数值为零:



    求解上述方程,得出凯利公式:



    用图形,更容易看出凯利公式的工作原理:



    横坐标是下注比例,纵坐标是回报。下注小,安全但回报低;下注大,极可能回报也不高风险却很大。


    凯利公式帮助我们找到图中的峰顶,对应的就是最佳下注比例。


    人的一生,是由很多个下注串起来的。虽然不像过玻璃桥那么非死即活,但一样充满了巨大的不确定性。


    每次做决策时,计算一下输赢的概率,算一下回报,并且随时提醒自己控制好下注的水龙头,千万别All in。


    凯利公式的工作原理图最上方的那个点,也许是我们想在人生中找寻的位置:活下来,活好。


    十、log10(10000000000)


    如上所述,对数与复利式的增长有关。


    假设我们往银行存1个亿,银行的年息是100%,如果每年产生一次,那我们可以知道一年到头你的账户总额(单位:亿元)是:



    但是如果我们换成一个月产生一次利息,然后你又把每个月的利息重新存入本金,那你一年到头的账户总额是:



    进一步,我们换成一个天产生一次利息,然后你把每天的利息重新存入本金,那你一年到头的账户总额是:



    假设银行愿意每秒付利息,你也每秒取出利息再存入,利滚利会不会涨上天呢?


    并不会,你的银行余额是2.7182817813元。


    所以,1元钱存1年,在年利率 100% 情况下,无论怎么利滚利,其余额总有一个无法突破的天花板,这个天花板就是e≈2.71828。


    e,作为数学常数,是自然对数函数的底数,亦称自然常数、自然底数,或是欧拉数。


    在谷歌2004年的首次公开募股,集资额不是通常的整数,而是$2,718,281,828,正是来自e。其2005年的一次公开募股中,集资额是$14,159,265,与圆周率有关。


    e和π,的确是两个最神奇的数字了。e的本质,是自然增长的极限。e在自然界无处不在,最有名的是等角螺线,又叫对数螺线或生长螺线。


    例如:


    还有:


    • 昆虫以等角螺线的方式接近光源;

    • 蜘蛛网的构造与等角螺线相似;

    • 旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°;

    • 低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像等角螺线。


    雅各布·伯努利格外喜欢等角螺线。他发现了等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线,并对此十分惊叹和欣赏。


    放大和缩小后的对数螺线,和原图形相似。还有旋转的自相似性:旋转后的对数螺线,和原图形相似。


    于是,雅各布·伯努利要求将等角螺线刻在自己的墓碑上,并附词:


    纵使改变,依然故我。


    本文来自微信公众号:孤独大脑(ID:lonelybrain),作者:老喻

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    • 夏颜╮ @回复Ta

      2022-07-25 00:10:08 

      全台 Sony Mobile 行动通讯专卖店,现场有专人介绍与解说 Xperia PRO-I 功能,完成指定的体验活动及问券,并加入官方 Line 好友,即享好礼「双色口罩X香氛扣」。真耐看

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